אליעזר גולדברג, נולד וגדל בירושלים. למד בגימנסיה העברית רחביה בירושלים, וסיים את חוק לימודיו בשנת 1949. בשנים 1952–1955 למד משפטים באוניברסיטה העברית בירושלים. התמחה בלשכתו של נשיא בית המשפט המחוזי בירושלים, צבי עלי בקר, ובשנת 1957 קיבל רישיון עורך דין. בשנים 1957–1960 שימש עורך דין במשרד עורך דין פ. רבינוביץ'. לאחר מכן עבד במשרד עורכי דין הילר וא. דורי, עד חודש מאי 1964.
בשנת 1964 החל בקריירת השיפוט שלו. בשנים 1964–1965 כיהן בתפקיד שופט תעבורה. בשנים 1965–1974 כיהן כשופט בית משפט השלום בירושלים. באוגוסט 1974 מונה לשופט בית המשפט המחוזי בירושלים, ובמאי 1982 התמנה לסגן נשיא בית המשפט. במשך שנה (מרץ 1983-מרץ 1984) כיהן כשופט בפועל בבית המשפט העליון, וב-18 באפריל 1984 התמנה לכהונת שופט בית המשפט העליון במינוי קבע.
ב-2008 התמנה לנציב תלונות הציבור על שופטים. על פעולתו בתפקידו זה אמר: "אני מחמיר עם אחרים מפני שאני מחמיר גם עם עצמי ומפני שאני חושב ששופט חייב להחמיר עם עצמו". החלטה בולטת שלו הייתה בעניינה של השופטת ורדה אלשיך, ביוני 2012, שבה קבע כי אלשיך ביצעה 36 תיקונים טכניים ומהותיים בפרוטוקול דיון שהתנהל בפניה, כדי להחמיר בתיאור התנהלות עו"ד שנגדו התלוננה. בשנת 2013 הסתיימה כהונתו בתפקיד זה. במקביל לתפקידו זה הרצה במכללת ספיר בקורס ביקורת על מוסדות המדינה.
בשנת 2018 מונה ליו"ר הוועדה המייעצת למינוי בכירים בשירות המדינה. הוועדה בראשותו אישרה את מינויים של אביב כוכבי לרמטכ"ל ואמיר ירון לנגיד בנק ישראל. בנובמבר 2018 הכריע בהחלטה להמליץ שלא למנות את משה אדרי למפכ"ל המשטרה.
ראש הממשלה לשעבר, ראש האופוזיציה לימים, בנימין נתניהו: "רעייתי שרה ואני שולחים תנחומים למשפחתו של השופט אליעזר גולדברג ז״ל. בכל תפקידיו במערכת המשפט, כמבקר המדינה וכיו״ר הועדה המייעצת למינוי בכירים, השופט גולדברג היה מגדלור של הגינות, יושר וחוכמה. נזכור ונעריך תמיד את תרומתו הגדולה למדינת ישראל. יהי זכרו ברוך".
