בשנת 1970 מונה בקשי דורון לרב שכונות רמת הנשיא ורמת יוסף בבת ים.
בשנת 1972 מונה לרב הראשי הספרדי של העיר. לאחר מכן מונה לרב הראשי של חיפה, שם כיהן ברבנות שמונה עשרה שנים. בתקופת רבנותו בעיר הקים את מוסד "מורשה", שם מסר שיעורי תורה. חלק משיחותיו שם קובצו בספרו "בנין אב".
בשנת 1993 נבחר לתפקיד "הראשון לציון" – הרב הראשי הספרדי לישראל, בתמיכת הרב עובדיה יוסף. הוא כיהן בתפקיד עד שנת 2003.
מבית החולים שערי צדק שם אושפז הרב נמסר: ״הראשון לציון הרב אליהו בקשי דורון זצ"ל נפטר בדקות האחרונות במחלקה לחולי קורונה במרכז הרפואי שערי צדק.
הרב אושפז לפני מספר ימים לאחר שאובחן כחיובי לקורונה.
מצבו של הרב שסבל ממחלות רקע מורכבות הדרדר במהלך היום ולמרות מאמצי החייאה רבים בשעה האחרונה, נאלצו הרופאים לקבוע את מותו״.
השר אריה דרעי אמר בתגובה לפטירת הרב: ״ברוך דיין האמת. מתאבל מרה על פטירת הרב הראשי, הראשון לציון, הרב אליהו בקשי דורון. הרב בקשי דורון, היה תלמיד חכם ענק, מורה דרך לרבים בעם ישראל ופטירתו היא מכה גדולה. כאב גדול מאד, אבדה גדולה לעם ישראל.
יהי זכרו ברוך״.
שר הביטחון נפתלי בנט מסר בתגובה: "הרב הראשי לשעבר אליהו בקשי דורון הלך כעת לעולמו בתום מאבק עיקש בנגיף הקורונה. הרב היה איש חסד ונתינה, שפעל רבות לקירוב לבבות בעם ישראל.
מוסדות בנין אב ודבי אליהו שהקים מסמלים את מורשתו, מורשת של אהבת העם והתורה.
בשמי ובשם מערכת הביטחון, אני מבקש לשלוח תנחומים למשפחה בשעה קשה זו.
עם ישראל כולו מחבק אתכם.
יהיה זכרו ברוך".
הלוויתו של הרב תתקים בבית הלויות הספרדי בגבעת שאול בשעה 10:30. קבוצה מצומצמת של רבני ישראל ישתתפו בהלוויה וילדי הרב.
המשטרה הודיע כי לא תתיר להגיע להלוויה והציבור מתבקש לשמור על כל כללי משרד הבריאות.
